Гироскоп прецессиясы · Гироскоптық момент · Лагранж теңдеуі
Гироскоп осінің сыртқы күш немесе оны алып жүретін дененің қозғалысы нәтижесінде мәжбүрлі бұрылуы — еріксіз прецессия. Бұл бөлімде гироскоптық моменттің физикалық мәні мен формуласы шығарылады.
Гироскоп — симметрия осі бойымен жоғары бұрыштық жылдамдықпен айналатын қатты дене. Егер оны алып жүретін дене (кеме, ұшақ, зымыран) бұрылса, гироскоп осі де бұрылуға мәжбүр болады. Бұл қозғалыс еріксіз прецессия деп аталады.
Гироскоп өз симметрия осі бойымен $\omega_1$ бұрыштық жылдамдықпен айналады. Инерция моменті $C$ болса, кинетикалық момент:
$$\vec{H} = C\,\vec{\omega}_1$$
Вектор $\vec{H}$ гироскоп симметрия осімен бағыттас. $\omega_2$ бұрыштық жылдамдықпен еріксіз прецессия жасалғанда $\vec{H}$ бағыты өзгереді. Осы өзгерісті тудыру үшін сыртқы момент керек, ал Ньютонның III заңы бойынша гироскоп денеге кері реакция моменті береді — гироскоптық момент.
Жылдам айналыстағы гироскоп осіне еріксіз прецессия берілсе, гироскоп осі ең қысқа жолмен прецессия осіне параллель орналасуға ұмтылады. Нәтижесінде $\vec{\omega}_1$ мен $\vec{\omega}_2$ векторлары туралас болуға тырысады.
Гироскоп осінің бастапқы бағыты прецессия осіне қатысты $\theta$ бұрыш жасайды.
Гироскоп осі прецессия осіне минималды бұрыш арқылы жетуге тырысады.
Физикалық мағынасы: Гироскоп прецессия осімен туралануға «бағынуға» тырысады. Осылайша гироскоп навигациялық жүйелерде бағытты сақтайды.
Гироскоп осі еріксіз бұрылғанда кинетикалық момент вектор $\vec{H}$ бағыты өзгереді. Бұрыштық моменттің уақыт бойынша өзгеруі сыртқы моментке тең болуы тиіс (импульс моменті теоремасы). Сондықтан гироскоп симметрия осінің бағытын өзгертуге қарсы реактивті гироскоптық момент тудырады. Бұл момент подшипниктерге түсетін қысым немесе қос күш моменті түрінде байқалады. Кеме мен ұшақтардың навигациялық жүйелері осы принципке негізделген.
Еріксіз прецессия — гироскоп осінің сыртқы байланыс немесе дененің қозғалысынан $\omega_2$ бұрыштық жылдамдықпен мәжбүрлі бұрылуы. Гироскоп симметрия осі бойымен $\omega_1$ жылдамдықпен айналады, оның кинетикалық моменті $H = C\omega_1$. Еріксіз прецессия кезінде $\vec{H}$ бағыты өзгереді. Сыртқы момент: $\vec{M}_O^{(e)} = \vec{\omega}_2 \times \vec{H}$. Ньютонның III заңы бойынша гироскоп денеге кері момент береді — гироскоптық момент: $\vec{M}_r = \vec{H} \times \vec{\omega}_2$, модулі: $M_r = C\omega_1\omega_2\sin\theta$. Қос күш арқылы: $Q = M_r / h$. Жуковский ережесі: гироскоп осі ең қысқа жолмен прецессия осіне параллель орналасуға тырысады.
Идеал, голономды байланыстары бар механикалық жүйенің қозғалысы жалпылама координаталар арқылы сипатталады. Байланыс реакцияларын тікелей есептемей-ақ қозғалыс теңдеулерін алуға болады.
Лагранждың 2-ші текті теңдеулері идеал, голономды байланыстары бар жүйелердің қозғалысын сипаттайды. Жалпылама координаталар саны $s$ — жүйенің еркіндік дәрежесіне тең. Байланыс реакцияларын табудың қажеті жоқ.
$n$ нүктеден, $l$ голономды байланыстан тұратын жүйенің еркіндік дәрежесі: $s = 3n - l$. Жүйе орны $s$ тәуелсіз жалпылама координатамен анықталады: $q_1, q_2, \ldots, q_s$.
Нүктелердің радиус-векторлары жалпылама координаталар арқылы жазылады: $\;\vec{r}_\nu = \vec{r}_\nu(q_1,\ldots,q_s,t)$. Виртуаль орын ауыстыру ($dt=0$ кезінде): $$\delta\vec{r}_\nu = \sum_{i=1}^{s}\frac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial q_i}\,\delta q_i$$
Жалпылама күш актив күштердің виртуаль жұмысынан анықталады: $$Q_i = \sum_\nu \vec{F}_\nu \cdot \frac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial q_i}$$
Идеал байланыстары бар жүйе үшін: $$\sum_{\nu=1}^{n}\left(\vec{F}_\nu - m_\nu\vec{w}_\nu\right)\cdot\delta\vec{r}_\nu = 0$$
Идеал байланыстар үшін байланыс реакцияларының виртуаль жұмысы нөлге тең. Сондықтан реакциялар теңдеуге кірмейді — бұл осы әдістің басты артықшылығы.
$n$ нүкте, $l$ байланыс болса: $s = 3n - l$. $s$ теңдеу жазылады.
$s$ тәуелсіз параметр: $q_1, q_2, \ldots, q_s$ — бұрыш, ұзындық немесе кез келген шама.
$\vec{r}_\nu = \vec{r}_\nu(q_1,\ldots,q_s,t)$, жылдамдық: $\vec{v}_\nu = \sum_i \frac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial t}$
$T = \sum_\nu m_\nu v_\nu^2/2$ — жалпылама координаталар мен жылдамдықтар арқылы өрнектеледі.
Потенциалды күштер болса $\Pi$ жазылады, Лагранж функциясы $\mathcal{L} = T - \Pi$ құрылады.
Әрбір $q_i$ үшін $\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} = 0$ теңдеуі жазылады.
$s$ теңдеуден тұратын дифференциалдық жүйе. Байланыс реакциялары теңдеуде жоқ — басты артықшылық!
Еркіндік дәрежесі: $s = 1$, жалпылама координата $q = \varphi$
Кинетикалық энергия:
Потенциалдық энергия:
Туындылар:
Лагранж теңдеуіне қойғаннан кейін:
Маятниктің қозғалыс теңдеуі
Лагранждың 2-ші текті теңдеулері идеал голономды байланыстары бар механикалық жүйелердің қозғалысын жалпылама координаталар арқылы сипаттайды. Еркіндік дәрежесі: $s = 3n - l$. Виртуаль орын ауыстыру: $\delta\vec{r}_\nu = \sum_i(\partial\vec{r}_\nu/\partial q_i)\delta q_i$. Даламбер–Лагранж принципі: $\sum_\nu(\vec{F}_\nu - m_\nu\vec{w}_\nu)\cdot\delta\vec{r}_\nu = 0$. Жалпылама күш: $Q_i = \sum_\nu\vec{F}_\nu\cdot\partial\vec{r}_\nu/\partial q_i$. Нәтиже: $\frac{d}{dt}(\partial T/\partial\dot{q}_i) - \partial T/\partial q_i = Q_i$. Потенциалды жүйеде $\mathcal{L} = T-\Pi$ кіргізіліп: $\frac{d}{dt}(\partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}_i) - \partial\mathcal{L}/\partial q_i = 0$. Байланыс реакциялары теңдеуге кірмейді — бұл негізгі артықшылық.
Екі тақырыптың негізгі формулалары — ауызша қорғауға дайындық.
Ньютонның III заңы: $\vec{M}_r = -\vec{M}_O^{(e)} = \vec{H}\times\vec{\omega}_2$
Жуковский: ось ең қысқа жолмен прецессия осіне параллель орналасуға тырысады.
Маятник: $q=\varphi\;\Rightarrow\;\ddot{\varphi} + (g/l)\sin\varphi = 0$
Гироскоп:
Кинетикалық момент $\vec{H}$ бағытының өзгеруі реактивті гироскоптық момент тудырады. Гироскоп өз осінің бағытын өзгертуге қарсылық көрсетеді — навигация жүйелерінің негізі. Ньютонның III заңы бойынша $\vec{M}_r = \vec{H}\times\vec{\omega}_2$.
Лагранж теңдеуі:
Күштер арқылы емес, энергиялар арқылы қозғалысты сипаттайды. Байланыс реакцияларын табудың қажеті жоқ — күрделі жүйелер үшін өте ыңғайлы. Даламбер–Лагранж принципіне негізделген.
Екі формуланы, шығарылу логикасын және физикалық мағынасын жақсы түсінсеңіз — қорғауға дайынсыз. Сенемін сізге!